[Lab ACSD] 4. Análisis del lugar geométrico de las raíces

Dibuje los lugares de las raíces para un sistema con:

Determine los puntos exactos donde los lugares de las raíces cortan el eje jω.


Solución:

Primero debemos determinar los puntos donde los lugares de las raíces cortan el eje real, para ello hay que obtener la ecuación característica:

En este caso no existen puntos que cortan el eje real, pues si resolvemos el denominador de la ecuacion obtenemos solo puntos imaginarios:

Entonces, para encontrar los puntos donde los lugares de las raíces cortan el eje imaginario debemos resolver la ecuacíon caracteristica para s = jω.

Los lugares de las raíces que cortan el eje imaginario son las raíces o ceros de la parte imaginaria de la ecuación final que obtuvimos, entonces, vamos a gráficar la parte imaginaria para obtener una aproximación de dichos puntos, para ello utilice gnuplot:

Vemos que la gráfica corta el eje en los rangos (-2 : -1.5)(1.5 : 2), la gráfica es simétrica, entonces, reducimos el rango de visualizacion de un lado para obtener los puntos:

Nuestra aproximación es  ω±1.88, entonces el eje imaginario se corta en los puntos 1.88 y -1.88

Para obtener un valor mas preciso utilizaremos el Criterio de Routh (ver referencias).  Para encontrar los puntos despejamos k de la penúltima fila y la sustituyemos en la antepenúltima fila y la resolvemos.

Asi comprobamos que los lugares de las raíces cortan el eje imáginario (s = jω) en los puntos ω±1.8708

Gráficamos con Octave para comprobar, el eje X es el eje real, el eje Y es el eje imaginario. Podemos ver como la curva azúl corta el eje imaginario en los puntos ±1.8708, además hay 4 puntos adicionales conectados con 1 recta, estos corresponden a los puntos donde se corta el eje imaginario con el sistema a lazo abierto, estos puntos lo encontramos al resolver el denominador de la ecuacion de la imágen 3, es decir -2i, -1i, 1i y 2i





Referencias:

• http://gama.fime.uanl.mx/~agarcia/materias/ingco/apclas/07%20-%20Criterio%20de%20Estabilidad%20de%20Routh.pdf
• http://materias.fi.uba.ar/7609/material/Clase%2004/06%20Lugar%20de%20Raices.pdf
• http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_imaginaria
• http://www.esi2.us.es/~asun/TCA07/T2-5.pdf
• http://gama.fime.uanl.mx/~agarcia/materias/ingco/apclas/08%20-%20Analisis%20del%20Lugar%20Geometrico%20de%20la%20Raices.pdf