martes, 16 de octubre de 2012

[Lab ACSD] 4. Análisis del lugar geométrico de las raíces

Dibuje los lugares de las raíces para un sistema con:


Determine los puntos exactos donde los lugares de las raíces cortan el eje jω.


Solución:

Primero debemos determinar los puntos donde los lugares de las raíces cortan el eje real, para ello hay que obtener la ecuación característica:


En este caso no existen puntos que cortan el eje real, pues si resolvemos el denominador de la ecuacion obtenemos solo puntos imaginarios:


Entonces, para encontrar los puntos donde los lugares de las raíces cortan el eje imaginario debemos resolver la ecuacíon caracteristica para s = jω.


Los lugares de las raíces que cortan el eje imaginario son las raíces o ceros de la parte imaginaria de la ecuación final que obtuvimos, entonces, vamos a gráficar la parte imaginaria para obtener una aproximación de dichos puntos, para ello utilice gnuplot:



Vemos que la gráfica corta el eje en los rangos (-2 : -1.5)(1.5 : 2), la gráfica es simétrica, entonces, reducimos el rango de visualizacion de un lado para obtener los puntos:



Nuestra aproximación es  ω±1.88, entonces el eje imaginario se corta en los puntos 1.88 y -1.88

Para obtener un valor mas preciso utilizaremos el Criterio de Routh (ver referencias).  Para encontrar los puntos despejamos k de la penúltima fila y la sustituyemos en la antepenúltima fila y la resolvemos.



Asi comprobamos que los lugares de las raíces cortan el eje imáginario (s = jω) en los puntos ω±1.8708

Gráficamos con Octave para comprobar, el eje X es el eje real, el eje Y es el eje imaginario. Podemos ver como la curva azúl corta el eje imaginario en los puntos ±1.8708, además hay 4 puntos adicionales conectados con 1 recta, estos corresponden a los puntos donde se corta el eje imaginario con el sistema a lazo abierto, estos puntos lo encontramos al resolver el denominador de la ecuacion de la imágen 3, es decir -2i, -1i, 1i y 2i





Referencias:




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