Un Sistema Caótico es un tipo de Sistema Dinámico . Los Sistemas Dinámicos son sistemas cuyo estado evoluciona con el tiempo.
El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema. Constan de ciertas condiciones iniciales las cuales fijan los estados subsecuentes del sistema.
Asi pues, un Sistema Dinamico se considera caotico cuando es muy sensible a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro; complicando la predicción a largo plazo.
Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos es la rama de las Matemáticas que trata acerca del comportamiento cualitativo a largo plazo de un sistema dinámico. No se trata de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones que definen dicho sistema dinámico (lo cual suele ser imposible), sino más bien el poder contestar preguntas como "¿A largo plazo, se estabilizará el sistema? ¿Y si lo hace, cuáles serán los estados posibles?" o "¿Variará el estado a largo plazo del sistema, si cambian las condiciones iniciales?"
Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor determinísticos, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta.
Geografía Fractal
Cuando observamos algún paisaje nunca nos detenemos a pensar en éste llego a tener tal forma. A grandes razgos, nos ponemos a pensar siempre en las fuerzas moldeadoras del planeta tales como el agua y aire (erosion), erupciones volcánicas, movimientos tectónicos, etcetera. Sin embargo, esas curvas graciosas que cubren nuestro planeta son el resultado de un equilibrio de una gran cantidad de variables.
Los relieves que rodean el planeta parecen no tener relación para muchos, sin embargo, cuando nos vamos alejando de la superficie podemos comenzar a notar cierto patron en dichos relieves, los cuales finalmente terminan teniendo un tamaño de kilometros, una forma bien definida y que parece tener cierto orden.
Canales de drenaje pluvial en una cordillera
Y dichas formas caprichosas son el resultado de la gran cantidad de energía que esta debajo de nosotros y que permanece en equilibrio, la cual se manifiesta mediante los terremotos. Las placas se tensan unas a otras, cuando la tensión en cierto momento alcanza un punto critico, esta es liberada, alterando a su vez el paisaje que la rodea y moldeándolo. Ejemplo son las montañas, islas y cordilleras. Podemos ver en las siguientes imágenes como, a pesar de tener formas irregulares a simple vista, en escalas mayores los relieves tienden a conservar un orden Fractal, el cual es mas obvio en las costas marítimas.
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.
Asi por ejemplo: en un mapa mundial podemos ver islas de diferentes tamaños. Su distribución se rige por leyes potenciales rigen si tamaño y forma, por lo que nos encontramos de nuevo ante estructuras fractales. Mientras la distribución de los continentes e islas de gran tamaño son pocas, es muy alta la cantidad de islas y archipielagos.
Modelado de Relieves
El modelado computacional de relieves es un tema tanto sencillo, en su forma mas básica, la propiedad mas importante que necesita ser modelada es la elevación.
La forma más simple es generar una gradiente de grises aleatoriamente distribuida o de colores que después puede ser traducida cono un mapa de relieve o elevaciones para finalmente modelarse en 3D.
El método más utilizado es el llamado Perlin Noise. Este método genera una gradiente de ruido en grises la cual puede utilizarse para crear nubes, fuego o relieves.
Cuando se usa para crear relieves, las partes blancas son relieves altos, las partes negras son relieves bajos o por debajo del nivel del mar
Con este método primeramente se establece un estado inicial, que generalmente es un cuadrado cuyas esquinas tienen asignados valores aleatorios de elevación.
Después el cuadrado comienza a subdividirse en cuatro, y a cada nuevo cuadrado se le han de calcular sus nuevas alturas siguiendo un patrón, por ejemplo:
Las elevaciones iniciales son valores generados al azar, los valores intermedios son calculados iterativamente y su computo depende total mente de las condiciones inciales.
Ejemplo del proceso (Wikipedia | Fractal Landscape)
Uno de los problemas del método consiste en que utilizaba solo cuadrados, lo que en la generación de graficas por computadora no es muy atractivo actualmente. El método se complemento con un paso intermedio que agrega en lugar de cuadrados, rombos o diamantes también. A este método se le llamo Diamond-square algorithm.
El beneficio que se obtiene es la generación de gradientes un poco mas naturales, pero no discontinuas, que proporcionan relieves mas realisticos.
Gradiente generada con Diamond Square Algorithm
Si vemos los gradientes asi como asi, se nos hacen aburridos, poco atractivos... lo bueno viene cuando son interpretados por un programa tal como Octave o Matlab, el resultado es algo como esto:
Este tipo de diseño de terrenos es llamado Fractal Landscape, su objetivo es la generación de paisajes naturales mediante fractales. Aunque los paisajes fractales parezcan naturales a primera vista, la exposición repetida puede defraudar a quienes esperen ver el efecto de la erosión en las montañas. La crítica principal es que los procesos fractales simples no reproducen (y quizás no puedan hacerlo) las funciones geológicas y climáticas reales.
Con algo de texturizado y sombreado nos queda un paisaje geográfico bastante real.
Generando Paisajes Fractales
Tuve poco tiempo, base mi código en un tutorial sobre este tema.
Recibe 2 parámetros, la cantidad de iteraciones y el segundo es el nivel de "evolución del terreno".
Básicamente el código lo que hace es crear una matriz de 2x2, y que solo tiene ceros, es decir, comenzamos con una zona flat (un cuadrado de cero altura en todos sus lados).
Después vamos a utilizar la función interp2 que lo que hace es agregarme los subelementos a la matriz, es decir, de 2x2 ahora hace una matriz 3x3, en la siguiente iteración me genera una matriz 5x5 y así sucesivamente según el numero de iteraciones. Entre mayor sea el número de iteraciones, mayor sera el detalle del paisaje, pero tardara mas en diseñarlo y plotearlo.
Despues marcamos solo los subelementos internos, es decir, una vez creado el cuadrado principal, lo subdividimos y descartamos los nodos viejos y solo seleccionamos los nuevos para trabajar con ellos.
Después calculamos un valor random, que sera la nueva altura que le sumaremos o restaremos a los nodos marcados, este se multiplica por el factor de cambio del terreno, valores pequeños ofrecen poco cambio, pero, debido a la dinámica del código esto no se cumple necesariamente.
Por último, dividimos el factor de cambio entre 2 para disminuir en cada iteración el factor de cambio y hacer todo un poco mas natural.
Código
Para la demostración, correré el código a 6 iteraciones (las cuales son suficientes) y una razón de cambio pequeña, de 0.1
Primera Iteración
Segunda Iteración
Tercera Iteración
Cuarta Iteración
Quinta Iteración
Sexta Iteración
Podemos ver como se genero un terreno fractal a partir de una zona completamente flat. Por medio de estos algoritmos podemos producir ambientes naturales bastante realistas y en poco tiempo. En mi caso no pude, creo que el poder de calculo de mi computadora se quedo corto, entonces, con mas de 8 iteraciones se congelaba Octave y había que matar el proceso.
Y este es el mapa de Perlin Noise utilizando Diamond-Square
Podemos también definir el nivel del mar del terreno, por ejemplo, con esta instrucción le digo que todo valor menor a cero lo iguale a cero, para que cero sea mi limite inferior y por consiguiente, mi nivel del mar:
octave> w = m;octave> w(w < -0.01) = -0.01;
Después de correr el código otra vez y poner las líneas anteriores, este es el resultado (podemos ver la zona plana):
Bueno, quedo hasta aquí en el tema de geografía fractal, espero les sea de interés y utilidad.
Referencias
